एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

माना $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ और $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. तो:

फलन $y = f(x)$ के ग्राफ पर बिंदु $x = a$ पर स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\pi/3$ का कोण बनाती है और बिंदु $x = b$ पर $\pi/4$ का कोण बनाती है। तो समाकलन $\int_{a}^{b} f(x) \cdot f''(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए (मान लीजिए कि $f''(x)$ सतत है)।

मान लीजिए $\operatorname{Max} \limits _{0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\alpha$ और $\operatorname{Min} \limits _ {0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\beta$. यदि $\int\limits_{\beta-\frac{8}{3}}^{2 \alpha-1} \operatorname{Max}\left\{\frac{9- x ^{2}}{5- x }, x \right\} dx =\alpha_{1}+\alpha_{2} \log _{e}\left(\frac{8}{15}\right)$ है,तो $\alpha_{1}+\alpha_{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (जहाँ $\alpha > 0$),तो $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $[t]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। तो,समाकलन $\int\limits_{0}^{1}\left[-8 x^{2}+6 x-1\right] d x$ का मान बराबर है