एक सतत फलन f: R rightarrow R समीकरण f(x) = x | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ है।कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके और $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $f'(x)

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$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ है।कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके और $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 1 + f(x)$ प्राप्त होता है।यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $f'(x) - f(x) = 1$.समाकलन गुणक $e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ है।समाकलन गुणक से गुणा करने पर: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x}$.$e^{-x} f(x) = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C$.$f(x) = -1 + C e^x$.चूंकि $f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) \, dt = 0$,इसलिए $0 = -1 + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$.अतः,$f(x) = e^x - 1$.अब,$f(x) + f(y) + f(x)f(y) = (e^x - 1) + (e^y - 1) + (e^x - 1)(e^y - 1)$ पर विचार करें।$= e^x - 1 + e^y - 1 + e^{x+y} - e^x - e^y + 1$.$= e^{x+y} - 1 = f(x+y)$.इसलिए,$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$।

एक सतत फलन $f: R \rightarrow R$ समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ को संतुष्ट करता है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

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