(2y - x) frac{dy}{dx} = 1 का हल ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2y - x) \frac{dy}{dx} = 1$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = 2y - x$. यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$

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$x = 2(y - 1) + ce^{-y}$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2y - x) \frac{dy}{dx} = 1$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = 2y - x$. यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = 1$ और $Q(y) = 2y$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^y$ है। दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $e^y \frac{dx}{dy} + x e^y = 2y e^y$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dy}(x e^y) = 2y e^y$. दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $x e^y = \int 2y e^y dy$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 2y e^y dy = 2(y e^y - e^y) + c = 2e^y(y - 1) + c$. अतः,$x e^y = 2e^y(y - 1) + c$. $e^y$ से भाग देने पर,हमें $x = 2(y - 1) + ce^{-y}$ प्राप्त होता है।

$(2y - x) \frac{dy}{dx} = 1$ का हल ज्ञात कीजिए।

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