$10 \; kg$ द्रव्यमान और $15 \; cm$ त्रिज्या का एक बेलन $30^{\circ}$ के झुकाव वाले समतल पर पूर्णतः लुढ़क रहा है। स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_{S} = 0.25$ है।
$(a)$ बेलन पर कार्य करने वाला घर्षण बल कितना है?
$(b)$ लुढ़कते समय घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य कितना है?
$(c)$ यदि समतल का झुकाव $\theta$ बढ़ाया जाता है,तो $\theta$ के किस मान पर बेलन फिसलना शुरू कर देगा और पूर्णतः नहीं लुढ़केगा?

(C) दिया है:
बेलन का द्रव्यमान,$m = 10 \; kg$
बेलन की त्रिज्या,$r = 15 \; cm = 0.15 \; m$
स्थैतिक घर्षण गुणांक,$\mu_{S} = 0.25$
झुकाव कोण,$\theta = 30^{\circ}$
बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I = \frac{1}{2} m r^{2}$
$(a)$ ढलान पर लुढ़कते बेलन का त्वरण:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mr^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} g \sin 30^{\circ} = \frac{2}{3} \times 9.8 \times 0.5 = 3.27 \; m/s^{2}$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम से: $mg \sin \theta - f = ma$
$f = m(g \sin \theta - a) = 10 \times (9.8 \times 0.5 - 3.27) = 10 \times (4.9 - 3.27) = 16.3 \; N$
$(b)$ शुद्ध लोटनिक गति के दौरान,संपर्क बिंदु क्षणिक रूप से स्थिर होता है। अतः,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $0 \; J$ है।
$(c)$ बिना फिसले लुढ़कने के लिए शर्त $f \leq \mu_{S} N$ है,जहाँ $N = mg \cos \theta$ है।
$mg \sin \theta - ma \leq \mu_{S} mg \cos \theta$
$a = \frac{2}{3} g \sin \theta$ रखने पर:
$mg \sin \theta - m(\frac{2}{3} g \sin \theta) \leq \mu_{S} mg \cos \theta$
$\frac{1}{3} \sin \theta \leq \mu_{S} \cos \theta \implies \tan \theta \leq 3 \mu_{S}$
$\tan \theta \leq 3 \times 0.25 = 0.75$
$\theta \leq \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$
बेलन $\theta \approx 36.87^{\circ}$ पर फिसलना शुरू कर देगा।