एक निष्पक्ष पासे को तब तक फेंका जाता है जब तक कि $2$ न आ जाए। तो $2$ के सम संख्या वाले प्रयासों में आने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए कि $E$ और $F$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं। उनमें से ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $\frac{11}{25}$ है और उनमें से किसी के भी न घटित होने की प्रायिकता $\frac{2}{25}$ है। यदि $P(T)$ घटना $T$ के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $P(E)=\frac{4}{5}, P(F)=\frac{3}{5}$
$(B)$ $P(E)=\frac{1}{5}, P(F)=\frac{2}{5}$
$(C)$ $P(E)=\frac{2}{5}, P(F)=\frac{1}{5}$
$(D)$ $P(E)=\frac{3}{5}, P(F)=\frac{4}{5}$

मान लीजिए $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4\}$ है। यदि सभी $x \in R$ के लिए $ax^2 + 2\sqrt{2}bx + c > 0$ होने की प्रायिकता $m/n$ है, जहाँ $gcd(m, n) = 1$ है, तो $m + n$ का मान . . . . . . है।

दो खिलाड़ी $A$ और $B$ बारी-बारी से $3$ सिक्के एक साथ उछालते हैं। जो खिलाड़ी पहले $2$ चित (heads) और $1$ पट (tail) प्राप्त करता है, वह खेल जीत जाता है। यदि खेल तब तक जारी रहता है जब तक कोई जीत न जाए और यदि $A$ खेल शुरू करता है, तो $B$ के खेल जीतने की प्रायिकता क्या है?

एक थैली में $20$ सिक्के हैं। यदि थैली में ठीक $4$ पक्षपाती सिक्के होने की प्रायिकता $1/3$ है और ठीक $5$ पक्षपाती सिक्के होने की प्रायिकता $2/3$ है,तो थैली से ठीक $10$ प्रयासों में सभी पक्षपाती सिक्कों के बाहर निकल जाने की प्रायिकता क्या है?

एक कंप्यूटर प्रोग्राम में दो मॉड्यूल $X$ और $Y$ हैं और उनमें त्रुटियाँ स्वतंत्र रूप से होती हैं। $X$ में त्रुटि की संभावना $0.1$ है और $Y$ में त्रुटि की संभावना $0.3$ है। यदि केवल $X$ में त्रुटि प्रोग्राम को $0.5$ की संभावना के साथ क्रैश करती है, केवल $Y$ में त्रुटि प्रोग्राम को $0.7$ की संभावना के साथ क्रैश करती है, और $X$ और $Y$ दोनों में त्रुटि प्रोग्राम को $0.8$ की संभावना के साथ क्रैश करती है, तो प्रोग्राम के क्रैश होने की संभावना क्या है?