$y^2 = 16x$ की एक नाभीय जीवा $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ की स्पर्श रेखा है,तो इस जीवा की ढाल (slope) के संभावित मान हैं:

मान लीजिए $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,जहाँ $r > 0$ है। गुणोत्तर श्रेणी $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ पर विचार करें। मान लीजिए $S_0 = 0$ है और,$n \geq 1$ के लिए,$S_n$ इस श्रेणी के पहले $n$ पदों का योग दर्शाता है। $n \geq 1$ के लिए,$C_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, 0)$ और त्रिज्या $a_n$ है,और $D_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, S_{n-1})$ और त्रिज्या $a_n$ है।
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ के साथ $M$ पर विचार करें। मान लीजिए $k$ उन सभी वृत्तों $C_n$ की संख्या है जो $M$ के अंदर हैं। मान लीजिए $l$ इन $k$ वृत्तों में से उन वृत्तों की अधिकतम संभव संख्या है ताकि कोई भी दो वृत्त एक-दूसरे को न काटें। तब
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ के साथ $M$ पर विचार करें। $M$ के अंदर स्थित उन सभी वृत्तों $D_n$ की संख्या है
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$

$a$ के मानों का वह परिसर ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु $(a, 0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ को संतुष्ट करता है:

$9x^2 + 16y^2 = 144$,$y^2 - x + 4 = 0$ और $x^2 + y^2 - 12x + 32 = 0$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है:

यदि वृत्तों $x^2+y^2=9$ और $x^2+y^2-8x-6y+n^2=0$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ के ठीक दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं,तो $n$ के मानों की संख्या है

वृत्त $C_1: x^2+y^2=3$,जिसका केंद्र $O$ है,परवलय $x^2=2y$ को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। मान लीजिए कि $P$ पर वृत्त $C_1$ की स्पर्श रेखा अन्य दो वृत्तों $C_2$ और $C_3$ को क्रमशः $R_2$ और $R_3$ पर स्पर्श करती है। मान लीजिए कि $C_2$ और $C_3$ की त्रिज्याएँ समान $2\sqrt{3}$ हैं और केंद्र क्रमशः $Q_2$ और $Q_3$ हैं। यदि $Q_2$ और $Q_3$ $y$-अक्ष पर स्थित हैं,तो:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ त्रिभुज $OR_2R_3$ का क्षेत्रफल $6\sqrt{2}$ है
$(D)$ त्रिभुज $PQ_2Q_3$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{2}$ है