एक फलन y = f(x),(x + 1)f'(x) - 2(x^2 + x)f(x) | vedclass

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Question

(B) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $(x + 1)f'(x) - 2x(x + 1)f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$ है। $(x + 1)$ से भाग देने पर,हमें $f'(x) - 2xf(x) = \frac{e^{x^2

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$\left( \frac{6x + 5}{x + 1} \right) e^{x^2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $(x + 1)f'(x) - 2x(x + 1)f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$ है। $(x + 1)$ से भाग देने पर,हमें $f'(x) - 2xf(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2}$ प्राप्त होता है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2x \, dx} = e^{-x^2}$ है। दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} [f(x) e^{-x^2}] = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2} e^{-x^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$f(x) e^{-x^2} = \int \frac{1}{(x + 1)^2} \, dx = -\frac{1}{x + 1} + C$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(0) = 5$ दिया गया है,$5(e^0) = -\frac{1}{0 + 1} + C \Rightarrow 5 = -1 + C \Rightarrow C = 6$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) e^{-x^2} = 6 - \frac{1}{x + 1} = \frac{6x + 6 - 1}{x + 1} = \frac{6x + 5}{x + 1}$ है। इसलिए,$f(x) = \left( \frac{6x + 5}{x + 1} \right) e^{x^2}$ है।

एक फलन $y = f(x)$,$(x + 1)f'(x) - 2(x^2 + x)f(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)}$ को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 5$ है,तो $f(x)$ क्या है?

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