एक फलन y = f(x) सभी t 0 के लिए x = frac{1}{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $x = (1 + t^2)^{-1}$ और $y = \frac{1}{t(1 + t^2)}$.सबसे पहले,हम $\frac{dx}{dt} = -1(1 + t^2)^{-2} \cdot (2t) = -\frac{2t}{(1 + t^2)^2}

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$(0, 1)$ में वर्धमान

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $x = (1 + t^2)^{-1}$ और $y = \frac{1}{t(1 + t^2)}$.सबसे पहले,हम $\frac{dx}{dt} = -1(1 + t^2)^{-2} \cdot (2t) = -\frac{2t}{(1 + t^2)^2}$ ज्ञात करते हैं।इसके बाद,$\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करते हैं: $y = t^{-1}(1 + t^2)^{-1}$.$\frac{dy}{dt} = -t^{-2}(1 + t^2)^{-1} - t^{-1}(1 + t^2)^{-2}(2t) = -\frac{1 + t^2 + 2t^2}{t^2(1 + t^2)^2} = -\frac{1 + 3t^2}{t^2(1 + t^2)^2}$.अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-(1 + 3t^2) / [t^2(1 + t^2)^2]}{-2t / (1 + t^2)^2} = \frac{1 + 3t^2}{2t^3}$.चूंकि $t > 0$,इसलिए $1 + 3t^2 > 0$ और $2t^3 > 0$,अतः सभी $t > 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} > 0$ है।जैसे $t 	o \infty$,$x 	o 0$,और जैसे $t 	o 0$,$x 	o 1$। अतः,$t \in (0, \infty)$ के लिए,$x \in (0, 1)$ है।चूंकि $\frac{dy}{dx} > 0$,फलन $f$ अंतराल $(0, 1)$ में वर्धमान है।

एक फलन $y = f(x)$ सभी $t > 0$ के लिए $x = \frac{1}{1 + t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1 + t^2)}$ द्वारा दिया गया है,तो $f$ है:

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