$l$ लंबाई का एक लंबा सीधा केबल $z-$ अक्ष के अनुदिश सममित रूप से रखा गया है और इसकी त्रिज्या $a (a << l)$ है। केबल एक पतले तार और एक समाक्षीय (co-axial) संवाहक नली से बना है। एक प्रत्यावर्ती धारा $I(t) = I_0 \sin(2\pi \nu t)$ केंद्रीय पतले तार से नीचे बहती है और समाक्षीय संवाहक नली के साथ वापस आती है। केबल के अंदर तार से $s$ दूरी पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec{E}(s,t) = \mu_0 I_0 \nu \cos(2\pi \nu t) \ln(s/a) \hat{k}$ है।
$(i)$ केबल के अंदर विस्थापन धारा घनत्व की गणना करें।
$(ii)$ कुल विस्थापन धारा $I_d$ ज्ञात करने के लिए केबल के अनुप्रस्थ काट पर विस्थापन धारा घनत्व का समाकलन करें।
$(iii)$ चालन धारा $I_0$ की विस्थापन धारा $I_d$ से तुलना करें।

(N/A) $(i)$ विस्थापन धारा घनत्व $\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec{E}(s,t) = \mu_0 I_0 \nu \cos(2\pi \nu t) \ln(s/a) \hat{k}$.
$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} [\mu_0 I_0 \nu \cos(2\pi \nu t) \ln(s/a) \hat{k}] = \epsilon_0 \mu_0 I_0 \nu \ln(s/a) \hat{k} \cdot \frac{d}{dt} [\cos(2\pi \nu t)]$.
चूंकि $\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$,हमें प्राप्त होता है $\vec{J}_d = \frac{1}{c^2} I_0 \nu \ln(s/a) \hat{k} \cdot (-2\pi \nu \sin(2\pi \nu t)) = -\frac{2\pi \nu^2 I_0}{c^2} \ln(s/a) \sin(2\pi \nu t) \hat{k}$.
$\lambda = c/\nu$ का उपयोग करते हुए,$\vec{J}_d = \frac{2\pi I_0}{\lambda^2} \ln(a/s) \sin(2\pi \nu t) \hat{k}$.
$(ii)$ कुल विस्थापन धारा $I_d = \int \vec{J}_d \cdot d\vec{A} = \int_0^a J_d (2\pi s ds)$.
$I_d = \int_0^a \frac{2\pi I_0}{\lambda^2} \ln(a/s) \sin(2\pi \nu t) (2\pi s ds) = \frac{4\pi^2 I_0 \sin(2\pi \nu t)}{\lambda^2} \int_0^a s \ln(a/s) ds$.
मान लीजिए $x = s/a$,तो $ds = a dx$। समाकलन $a^2 \int_0^1 x \ln(1/x) dx = a^2 \int_0^1 -x \ln x dx = a^2 [1/4] = a^2/4$ बन जाता है।
अतः,$I_d = \frac{4\pi^2 I_0 \sin(2\pi \nu t)}{\lambda^2} \cdot \frac{a^2}{4} = I_0 \sin(2\pi \nu t) (\frac{\pi a}{\lambda})^2$.
$(iii)$ $I_d$ की $I(t) = I_0 \sin(2\pi \nu t)$ से तुलना करने पर,हमें $I_d = I(t) (\frac{\pi a}{\lambda})^2$ प्राप्त होता है। चूंकि $a << \lambda$,विस्थापन धारा चालन धारा की तुलना में बहुत कम है।