એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ દળ ઘર્ષણ કે અવમંદન વગર સમક્ષિતિજ સમતલમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે દોલન કરવા માટે મુક્ત છે. સમય $t=0$ પર તેને $x_{0}$ અંતર સુધી ખેંચવામાં આવે છે અને $v_{0}$ વેગ સાથે કેન્દ્ર તરફ ધકેલવામાં આવે છે. $\omega, x_{0}$ અને $v_{0}$ પરિમાણોના સંદર્ભમાં પરિણામી દોલનોનો કંપવિસ્તાર નક્કી કરો. [સૂચના: $x=A \cos (\omega t+\theta)$ સમીકરણથી શરૂઆત કરો અને નોંધો કે પ્રારંભિક વેગ ઋણ છે.]

(A) દોલન કરતા દળ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x = A \cos (\omega t + \theta)$
વેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin (\omega t + \theta)$
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = x_{0}$ છે અને વેગ $v = -v_{0}$ છે (કારણ કે તેને કેન્દ્ર તરફ ધકેલવામાં આવે છે):
$x_{0} = A \cos \theta \quad \dots(i)$
$-v_{0} = -A \omega \sin \theta \implies A \sin \theta = \frac{v_{0}}{\omega} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$A^2 \cos^2 \theta + A^2 \sin^2 \theta = x_{0}^2 + \left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^2$
$A^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = x_{0}^2 + \frac{v_{0}^2}{\omega^2}$
$A^2 = x_{0}^2 + \frac{v_{0}^2}{\omega^2}$
તેથી,કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \sqrt{x_{0}^2 + \left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^2}$