एक बंदर $3 \ s$ तक एक फिसलन भरे खंभे पर चढ़ता है और उसके बाद $3 \ s$ तक फिसलता है। समय $t$ पर उसका वेग $v(t) = 2t(3 - t)$ ($0 < t < 3$ के लिए) और $v(t) = -(t - 3)(6 - t)$ ($3 < t < 6$ के लिए) $m/s$ में दिया गया है। वह $20 \ m$ की ऊँचाई तक पहुँचने तक इस चक्र को दोहराता है।
$(a)$ किस समय पर उसका वेग अधिकतम है?
$(b)$ किस समय पर उसका औसत वेग अधिकतम है?
$(c)$ किस समय पर उसके त्वरण का परिमाण अधिकतम है?
$(d)$ शीर्ष तक पहुँचने के लिए कितने चक्रों (अंशों की गणना करते हुए) की आवश्यकता है?

(N/A) $0 < t < 3$ के लिए,$v(t) = 6t - 2t^2$. $3 < t < 6$ के लिए,$v(t) = -t^2 + 9t - 18$.
$(a)$ $0 < t < 3$ के लिए,$\frac{dv}{dt} = 6 - 4t = 0 \implies t = 1.5 \ s$. $t = 1.5 \ s$ पर,$v = 4.5 \ m/s$. $3 < t < 6$ के लिए,$v$ ऋणात्मक है,इसलिए अधिकतम वेग $t = 1.5 \ s$ पर $4.5 \ m/s$ है।
$(b)$ औसत वेग $v_{avg} = \frac{1}{t} \int_0^t v(t) dt$. $0 < t < 3$ के लिए,$v_{avg} = \frac{1}{t} (3t^2 - \frac{2}{3}t^3) = 3t - \frac{2}{3}t^2$. $\frac{dv_{avg}}{dt} = 3 - \frac{4}{3}t = 0 \implies t = 2.25 \ s$ प्राप्त होता है।
$(c)$ त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt}$. $0 < t < 3$ के लिए,$a = 6 - 4t$. $3 < t < 6$ के लिए,$a = -2t + 9$. $t=0$ पर,$|a|=6$. $t=3$ पर,$|a|=6$. $t=6$ पर,$|a|=3$. अधिकतम परिमाण $6 \ m/s^2$ है जो $t=0 \ s$ और $t=3 \ s$ पर प्राप्त होता है।
$(d)$ एक चक्र में विस्थापन ($0$ से $6 \ s$): $x_1 = \int_0^3 (6t - 2t^2) dt + \int_3^6 (-t^2 + 9t - 18) dt = 9 + (-4.5) = 4.5 \ m$. $20 \ m$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक चक्र: $20 / 4.5 \approx 4.44$ चक्र।