एक संख्या को पैलिंड्रोम कहा जाता है यदि वह पीछे से और आगे से समान पढ़ी जाती है। उदाहरण के लिए,$285582$ एक छह अंकों की पैलिंड्रोम संख्या है। $55$ से विभाज्य छह अंकों की पैलिंड्रोम संख्याओं की संख्या ...... है।

अंकों $1, 3, 5, 6, 8$ का उपयोग करके तीन और चार अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं। यदि $e_1$ तीन अंकों की सम संख्याओं की संख्या है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है और $e_2$ चार अंकों की सम संख्याओं की संख्या है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है। साथ ही,$O_1$ तीन अंकों की विषम संख्याओं की संख्या को दर्शाता है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है और $O_2$ चार अंकों की विषम संख्याओं की संख्या को दर्शाता है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है। तो:

यदि $n$ एक पूर्णांक है जहाँ $0 \leq n \leq 11$,तो $n!(11-n)!$ का न्यूनतम मान $n$ के किस मान पर प्राप्त होता है?

$n \geq 2$ के लिए,मान लीजिए कि $S_n$,$\{1, 2, \ldots, n\}$ के उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है जिनमें कोई भी दो अवयव क्रमागत नहीं हैं। उदाहरण के लिए,$\{1, 3, 5\} \in S_6$,लेकिन $\{1, 2, 4\} \notin S_6$। तो $n(S_5)$ का मान . . . . . . है।

$1012$ और $23421$ के बीच स्थित ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिन्हें $2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है) और जो $55$ से विभाज्य हैं?

$2^n \{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 3) \cdot (2n - 1)\} = \dots$