m द्रव्यमान का एक कण मूल बिंदु के चारों ओर fr | vedclass

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Question

(A) कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2}$ के रूप में दी गई है।वृत्ताकार कक्षा के लिए,अभिकेंद्री बल विभव की प्रवणता द्वारा प्रदान कि

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$a \sqrt{n}$

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(A) कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2}$ के रूप में दी गई है।वृत्ताकार कक्षा के लिए,अभिकेंद्री बल विभव की प्रवणता द्वारा प्रदान किया जाता है: $F = -\frac{dU}{dr} = -m \omega^{2} r$।बल के परिमाण को अभिकेंद्री बल के साथ बराबर करने पर: $m \omega^{2} r = \frac{m v^{2}}{r}$,जिसका अर्थ है $v^{2} = \omega^{2} r^{2}$,या $v = r \omega$।अब,कण का कोणीय संवेग $L = mvr = m(r \omega)r = m r^{2} \omega$ है।बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$L = \frac{n h}{2 \pi}$।$L$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $m r^{2} \omega = \frac{n h}{2 \pi}$।$r^{2}$ के लिए हल करने पर: $r^{2} = \frac{n h}{2 \pi m \omega}$।वर्गमूल लेने पर: $r = \sqrt{n} \sqrt{\frac{h}{2 \pi m \omega}}$।चूंकि $a = \sqrt{\frac{h}{2 \pi m \omega}}$ दिया गया है,इसलिए $r = a \sqrt{n}$ प्राप्त होता है।

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