एक प्राचीन इमारत के अवशेषों से प्राप्त लकड़ी के एक टुकड़े में उसके कार्बन घटक के प्रति ग्राम $12$ विघटन प्रति मिनट की $^{14}C$ सक्रियता पाई गई। जीवित लकड़ी की $^{14}C$ सक्रियता $16$ विघटन प्रति मिनट प्रति ग्राम है। जिस पेड़ से यह लकड़ी का नमूना आया था,वह कितने समय पहले मर गया था? $^{14}C$ की अर्ध-आयु $5760$ वर्ष दी गई है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $I = I_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ समय $t$ पर सक्रियता है,$I_0$ प्रारंभिक सक्रियता है,और $\lambda$ क्षय नियतांक है।
यहाँ $I = 12$ विघटन/मिनट/ग्राम,$I_0 = 16$ विघटन/मिनट/ग्राम,और $T_{1/2} = 5760$ वर्ष है।
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5760} \text{ वर्ष}^{-1}$ है।
क्षय समीकरण में मान रखने पर:
$12 = 16 e^{-\lambda t}$
$\frac{12}{16} = e^{-\lambda t} \implies 0.75 = e^{-\lambda t}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(0.75) = -\lambda t$
$t = -\frac{\ln(0.75)}{\lambda} = -\frac{\ln(0.75) \times 5760}{0.693}$
चूंकि $\ln(0.75) \approx -0.2877$:
$t = \frac{0.2877 \times 5760}{0.693} \approx 2391 \text{ वर्ष}$।
अतः,पेड़ लगभग $2391$ वर्ष पहले मर गया था।