શૂન્યાવકાશમાં $z$-દિશામાં ગતિ કરતા સમતલ $EM$ તરંગને $\vec E = E_0 \sin(kz - \omega t) \hat i$ અને $\vec B = B_0 \sin(kz - \omega t) \hat j$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$(i)$ આકૃતિમાં દર્શાવેલ લંબચોરસ લૂપ $1234$ પર $\int \vec E \cdot d\vec l$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(ii)$ લૂપ $1234$ દ્વારા ઘેરાયેલી સપાટી પર $\int \vec B \cdot d\vec s$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(iii)$ $\frac{E_0}{B_0} = c$ સાબિત કરવા માટે $\int \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\phi_E}{dt}$ નો ઉપયોગ કરો.
$(iv)$ સમાન પ્રક્રિયા અને સમીકરણ $\int \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ નો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$.

(N/A) $(i)$ લૂપ $1234$ પર રેખીય સંકલન $\oint \vec E \cdot d\vec l = \int_1^2 \vec E \cdot d\vec l + \int_2^3 \vec E \cdot d\vec l + \int_3^4 \vec E \cdot d\vec l + \int_4^1 \vec E \cdot d\vec l$ છે. $\vec E$ એ $\hat i$ દિશામાં હોવાથી અને વિભાગ $1-2$ તથા $3-4$ એ $\hat z$ દિશામાં હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે. વિભાગ $2-3$ અને $4-1$ માટે,$\vec E$ એ $d\vec l$ ને સમાંતર/પ્રતિ-સમાંતર છે. તેથી,$\oint \vec E \cdot d\vec l = h E_0 [\sin(kz_2 - \omega t) - \sin(kz_1 - \omega t)]$.
$(ii)$ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = \int \vec B \cdot d\vec s$ છે. $d\vec s = h dz \hat j$ લેતા,$\phi_B = \int_{z_1}^{z_2} B_0 \sin(kz - \omega t) h dz = \frac{B_0 h}{k} [\cos(kz_1 - \omega t) - \cos(kz_2 - \omega t)]$.
$(iii)$ ફેરાડેના નિયમ $\oint \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\phi_B}{dt}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ફ્લક્સનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ છીએ અને તેને રેખીય સંકલન સાથે સરખાવીએ છીએ. કંપવિસ્તારની સરખામણી કરતા,આપણને $E_0 = c B_0$ મળે છે,તેથી $\frac{E_0}{B_0} = c$.
$(iv)$ એમ્પીયર-મેક્સવેલના નિયમ $\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $\phi_E = \int E dA$ છે. ફેરાડેના નિયમ જેવી જ ગણતરી કરતા,આપણને $B_0 = \mu_0 \epsilon_0 c E_0$ મળે છે. $E_0 = c B_0$ મૂકતા,$B_0 = \mu_0 \epsilon_0 c^2 B_0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$ અથવા $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ થાય છે.