निर्वात में $z$-दिशा में गति कर रही एक समतल $EM$ तरंग को $\vec E = E_0 \sin(kz - \omega t) \hat i$ और $\vec B = B_0 \sin(kz - \omega t) \hat j$ द्वारा दिया गया है।
$(i)$ चित्र में दिखाए गए आयताकार लूप $1234$ पर $\int \vec E \cdot d\vec l$ का मूल्यांकन करें।
$(ii)$ लूप $1234$ द्वारा परिबद्ध सतह पर $\int \vec B \cdot d\vec s$ का मूल्यांकन करें।
$(iii)$ $\frac{E_0}{B_0} = c$ सिद्ध करने के लिए $\int \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\phi_E}{dt}$ का उपयोग करें।
$(iv)$ समान प्रक्रिया और समीकरण $\int \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ का उपयोग करके सिद्ध करें कि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$।

(N/A) $(i)$ लूप $1234$ पर रेखीय समाकलन $\oint \vec E \cdot d\vec l = \int_1^2 \vec E \cdot d\vec l + \int_2^3 \vec E \cdot d\vec l + \int_3^4 \vec E \cdot d\vec l + \int_4^1 \vec E \cdot d\vec l$ है। चूँकि $\vec E$,$\hat i$ दिशा में है और खंड $1-2$ तथा $3-4$ $\hat z$ दिशा में हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य है। खंड $2-3$ और $4-1$ के लिए,$\vec E$,$d\vec l$ के समानांतर/प्रति-समानांतर है। अतः,$\oint \vec E \cdot d\vec l = h E_0 [\sin(kz_2 - \omega t) - \sin(kz_1 - \omega t)]$।
$(ii)$ चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = \int \vec B \cdot d\vec s$ है। $d\vec s = h dz \hat j$ के साथ,$\phi_B = \int_{z_1}^{z_2} B_0 \sin(kz - \omega t) h dz = \frac{B_0 h}{k} [\cos(kz_1 - \omega t) - \cos(kz_2 - \omega t)]$।
$(iii)$ फैराडे के नियम $\oint \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\phi_B}{dt}$ का उपयोग करके,हम फ्लक्स का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे रेखीय समाकलन के बराबर रखते हैं। आयामों की तुलना करने पर,हमें $E_0 = c B_0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{E_0}{B_0} = c$।
$(iv)$ एम्पीयर-मैक्सवेल नियम $\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ का उपयोग करके,जहाँ $\phi_E = \int E dA$ है। फैराडे के नियम जैसी ही व्युत्पत्ति प्रक्रिया का पालन करते हुए,हमें $B_0 = \mu_0 \epsilon_0 c E_0$ प्राप्त होता है। $E_0 = c B_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B_0 = \mu_0 \epsilon_0 c^2 B_0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$ या $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ हो जाता है।