એક પ્રોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોનને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. જો તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ અનુક્રમે $\lambda_p$ અને $\lambda_e$ હોય,તો:

સમાન સ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતાં પ્રોટોન અને $\alpha$-કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર શોધો.

એક આલ્ફા કણ $2 \times 10^{-2} \ T$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $0.5 \ mm$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે. આલ્ફા કણ સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ આશરે કેટલી હશે? (પ્લાન્કનો અચળાંક $= 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$)

$V_1$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે. જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાન બદલીને $V_2$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે. $\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

એક ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનને $100\, V$ ના સમાન સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત કરીને તેમની સાથે સંકળાયેલી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. તેમની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર આશરે કેટલો હોવો જોઈએ? $(m_{P} = 1.00727\, u, m_{e} = 0.00055\, u)$

જ્યારે કોઈ કણ $x$-અક્ષ પર $x=0$ અને $x=a$ ની વચ્ચે ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત હોય,જ્યાં $a$ નેનોમીટર પરિમાણ ધરાવે છે,ત્યારે તેની ઉર્જા માત્ર અમુક ચોક્કસ મૂલ્યો જ ધારણ કરી શકે છે. આવા મર્યાદિત વિસ્તારમાં ગતિ કરતા કણની અનુમતિપાત્ર ઉર્જાઓ તેના છેડાઓ $x=0$ અને $x=a$ પર નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) ધરાવતા સ્થિત તરંગોના નિર્માણ સાથે સંબંધિત છે. આ સ્થિત તરંગની તરંગલંબાઈ ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ કણના રેખીય વેગમાન $p$ સાથે સંબંધિત છે. $m$ દળ ધરાવતા કણની ઉર્જા તેના રેખીય વેગમાન સાથે $E = \frac{p^2}{2m}$ તરીકે સંબંધિત છે. આમ,કણની ઉર્જાને ક્વોન્ટમ નંબર $n$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે જે $1, 2, 3, \ldots$ મૂલ્યો લે છે ($n=1$,જેને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ કહેવાય છે) જે સ્થિત તરંગમાં લૂપ્સની સંખ્યાને અનુરૂપ છે.
ઉપર વર્ણવેલ મોડેલનો ઉપયોગ કરીને $x=0$ થી $x=a$ રેખામાં ગતિ કરતા કણ માટે નીચેના ત્રણ પ્રશ્નોના જવાબ આપો. $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ લો.
$1.$ $n$ ના ચોક્કસ મૂલ્ય માટે કણની અનુમતિપાત્ર ઉર્જા કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ જો કણનું દળ $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ અને $a = 6.6 \ \text{nm}$ હોય,તો ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં કણની ઉર્જા કોની નજીક હશે?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ કણની ઝડપ,જે અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે,તે કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$