એક દ્વિઘાત બહુપદી $y = f(x)$ જેનું અચળ પદ $3$ છે,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતી નથી કે છેદતી નથી અને રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. બહુપદીના અગ્ર સહગુણકનું મૂલ્ય એક છે. કાર્તેઝિયન લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ $OXY$ માં પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y = f(x)$ પર બિંદુ $A(x_1, y_1)$ જેનો $x$-યામ $x_1 = 1$ છે અને બિંદુ $B(x_2, y_2)$ જેનો $y$-યામ $y_2 = 11$ છે,આપેલા છે,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. સદિશો $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ નો અદિશ ગુણાકાર શોધો.

એક વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉપવલયના કેન્દ્ર સમાન છે અને તે ઉપવલયના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે,જેથી બંને વક્રો $4$ બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $P$ એ તેમના છેદબિંદુઓમાંથી કોઈ એક બિંદુ છે. જો ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $17$ હોય અને ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $30$ હોય,તો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?

જો $A = \{(x, y) : x^2 + y^2 = 25\}$ અને $B = \{(x, y) : x^2 + 9y^2 = 144\}$ હોય,તો $A \cap B$ માં કેટલા બિંદુઓ હોય?

ધારો કે $F_1(-1, 0)$ અને $F_2(1, 0)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ ના નાભિઓ છે. ધારો કે એક પરવલય જેનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને નાભિ $F_2$ પર છે,તે ઉપવલયને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $M$ પર અને ચોથા ચરણમાં બિંદુ $N$ પર છેદે છે.
$(1)$ ત્રિકોણ $F_1 M N$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ જો ઉપવલયના $M$ અને $N$ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકો $R$ માં મળે અને પરવલયના $M$ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ $x$-અક્ષને $Q$ માં મળે,તો ત્રિકોણ $M Q R$ ના ક્ષેત્રફળ અને ચતુષ્કોણ $M F_1 N F_2$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$

ધારો કે વર્તુળ $C$ રેખા $x - y + 1 = 0$ ને સ્પર્શે છે,તેનું કેન્દ્ર ધન $x$-અક્ષ પર છે,અને રેખા $-3x + 2y = 1$ પર $\frac{4}{\sqrt{13}}$ લંબાઈની જીવા કાપે છે. ધારો કે $H$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ છે,જેની એક નાભિ $C$ નું કેન્દ્ર છે અને પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $C$ નો વ્યાસ છે. તો $2\alpha^2 + 3\beta^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ છે. તો અતિવલયના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો: