ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ છે. તો અતિવલયના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો:

ધારો કે $A, B, C$ અને $D$ એ વક્રો $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ અને $x^2-y^2=5$ ના અનુક્રમે $I, II, III$ અને $IV$ ચરણમાં ચાર છેદબિંદુઓ છે. જો $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ અને $\theta_4$ એ $A, B, C$ અને $D$ પર વક્રો વચ્ચેના ખૂણા હોય, તો

જો $e_{1}$ અને $e_{2}$ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,અને $(e_{1}, e_{2})$ એ ઉપવલય $15x^{2}+3y^{2}=k$ પરનું બિંદુ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક નિયામિકાને $U$ માં અને નાભિલંબને $V$ માં મળે છે. તો $\triangle SUV$ (જ્યાં $S$ એ નાભિ છે) :

જો પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ વક્રને ફરીથી $Q$ બિંદુએ મળે છે,અને જો $PQ$ તથા $Q$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ ખૂણા બનાવે છે,તો $\tan \alpha (\tan \alpha + \tan \beta)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 8x = 0$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ છેદે છે. વર્તૂળ અને અતિવલયના ધન ઢાળ વાળા સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.