ધારો કે $A, B, C$ અને $D$ એ વક્રો $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ અને $x^2-y^2=5$ ના અનુક્રમે $I, II, III$ અને $IV$ ચરણમાં ચાર છેદબિંદુઓ છે. જો $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ અને $\theta_4$ એ $A, B, C$ અને $D$ પર વક્રો વચ્ચેના ખૂણા હોય, તો

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b^{2} < 16)$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{81}=\frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ હોય,તો $b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

$PQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની દ્વિ-કોટિ (double ordinate) છે. $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું થાય?

ધારો કે $F_1(-1, 0)$ અને $F_2(1, 0)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ ના નાભિઓ છે. ધારો કે એક પરવલય જેનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને નાભિ $F_2$ પર છે,તે ઉપવલયને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $M$ પર અને ચોથા ચરણમાં બિંદુ $N$ પર છેદે છે.
$(1)$ ત્રિકોણ $F_1 M N$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ જો ઉપવલયના $M$ અને $N$ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકો $R$ માં મળે અને પરવલયના $M$ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ $x$-અક્ષને $Q$ માં મળે,તો ત્રિકોણ $M Q R$ ના ક્ષેત્રફળ અને ચતુષ્કોણ $M F_1 N F_2$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$

જો અતિવલય $xy = -1$ નો સ્પર્શક એ પરવલય $y^2 = 8x$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો તે સ્પર્શકનું સમીકરણ શું થાય?

$C$ એ $(0, 1)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $P$ એ પરવલય $y = ax^2$ છે. $a$ ના જે મૂલ્યો માટે તેઓ ઉગમબિંદુ સિવાયના બિંદુએ મળે છે,તે ગણ છે