જો અતિવલય $xy = -1$ નો સ્પર્શક એ પરવલય $y^2 = 8x$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો તે સ્પર્શકનું સમીકરણ શું થાય?

પરવલય $y^2 = 4x$ પર બિંદુ $P(t^2, 2t)$ આગળ એક સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે,જ્યાં તેનો $x$-યામ $t^2$ એ અંતરાલ $[1, 4]$ માં છે. બિંદુ $P$ આગળના સ્પર્શક,બિંદુ $P$ ના કોટિ (ordinate) અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

$TP$ અને $TQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો છે. જો જીવા $PQ$ એ નિશ્ચિત બિંદુ $(-a, b)$ માંથી પસાર થતી હોય,તો $T$ નો બિંદુપથ શું છે?

જો $e_{1}$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (જ્યાં $a > b$) ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય અને $e_{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે અતિવલય $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ બિંદુ $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ માંથી પસાર થાય છે. એક પરવલય દોરવામાં આવે છે જેનું નાભિ $H$ ના ધન અભિસિસાવાળા નાભિ જેવું જ છે અને પરવલયની નિયામિકા $H$ ના બીજા નાભિમાંથી પસાર થાય છે. જો પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ એ $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈના $e$ ગણી હોય,જ્યાં $e$ એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે,તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ પરવલય પર આવેલું છે?

શંકુઓ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ અને $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાઓના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?