एक स्रोत में दो फास्फोरस रेडियो न्यूक्लाइड $_{15}^{32} P \left(T_{1/2} = 14.3 \ d\right)$ और $_{15}^{33} P \left(T_{1/2} = 25.3 \ d\right)$ हैं। प्रारंभ में,$10\%$ क्षय $_{15}^{33} P$ से आते हैं। $90\%$ क्षय $_{15}^{33} P$ से आने तक कितना समय प्रतीक्षा करनी होगी?

(D) मान लीजिए $_{15}^{32} P$ और $_{15}^{33} P$ के नाभिकों की संख्या क्रमशः $N_1$ और $N_2$ है। सक्रियता $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$A_2 / (A_1 + A_2) = 0.1$,जिसका अर्थ है $A_2 = (1/9) A_1$.
$A = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{N_2}{T_2} = \frac{1}{9} \frac{N_1}{T_1}$ प्राप्त होता है,इसलिए $N_2(0) = \frac{1}{9} \frac{T_2}{T_1} N_1(0) = \frac{1}{9} \frac{25.3}{14.3} N_1(0) \approx 0.1966 N_1(0)$.
$t$ समय के बाद,सक्रियता $A_1(t) = A_1(0) 2^{-t/T_1}$ और $A_2(t) = A_2(0) 2^{-t/T_2}$ है।
हम $A_2(t) / (A_1(t) + A_2(t)) = 0.9$ चाहते हैं,जिसका अर्थ है $A_2(t) = 9 A_1(t)$.
सक्रियता के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $A_2(0) 2^{-t/T_2} = 9 A_1(0) 2^{-t/T_1}$.
चूंकि $A_2(0) = (1/9) A_1(0)$,हमारे पास $(1/9) A_1(0) 2^{-t/T_2} = 9 A_1(0) 2^{-t/T_1}$ है।
$2^{-t/T_2} / 2^{-t/T_1} = 81$,जिसका अर्थ है $2^{t(1/T_1 - 1/T_2)} = 81$.
दोनों पक्षों पर $\log_{10}$ लेने पर: $t(1/14.3 - 1/25.3) \log_{10} 2 = \log_{10} 81$.
$t(0.06993 - 0.03953) \times 0.3010 = 1.9085$.
$t(0.0304) \times 0.3010 = 1.9085 \implies t \approx 208.5 \ d$.