એક અવકાશયાન જે પૃથ્વીની સાપેક્ષે $x$-દિશામાં $u$ ઝડપે ગતિ કરી રહ્યું છે,તે એક ખૂબ જ વિશાળ ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે જે ઋણ $x$-દિશામાં $3u$ ની ઝડપે ગતિ કરી રહ્યો છે. અવકાશયાન નીચે દર્શાવ્યા મુજબના માર્ગે બહાર નીકળે છે. ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણમાંથી બહાર નીકળ્યાના લાંબા સમય પછી પૃથ્વીની સાપેક્ષે અવકાશયાનની ઝડપ કેટલી હશે?

પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલી એક વસ્તુ વિષુવવૃત્ત પર ત્યારે વજનહીન બને છે જ્યારે પૃથ્વીની પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા એક નિર્ણાયક મૂલ્ય '$K$' સુધી પહોંચે છે. '$K$' નું મૂલ્ય શોધો [$g$ = પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$M$ = પૃથ્વીનું દળ અને $R$ = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા].

મંગળ ગ્રહને બે ચંદ્ર છે,ફોબોસ અને ડીમોસ.
$(i)$ ફોબોસનો આવર્તકાળ $7$ કલાક,$39$ મિનિટ અને કક્ષીય ત્રિજ્યા $9.4 \times 10^{3} \; km$ છે. મંગળનું દળ ગણો.
$(ii)$ ધારો કે પૃથ્વી અને મંગળ સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે,જેમાં મંગળની કક્ષા પૃથ્વીની કક્ષીય ત્રિજ્યા કરતાં $1.52$ ગણી છે. મંગળનું વર્ષ કેટલા દિવસનું હોય?

$M$ દળ ધરાવતા ચાર કણો,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર ગતિ કરે છે. દરેક કણની ઝડપ કેટલી હશે?

એક સમાન ઘનતા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાને કારણે,ગોળાના કેન્દ્રથી $3 R$ અંતરે રહેલા કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1$ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હવે ગોળામાં $(R / 2)$ ત્રિજ્યાનો એક ગોળાકાર કાણું પાડવામાં આવે છે. હવે આ કાણાવાળો ગોળો તે જ કણ પર $F_2$ બળ લગાડે છે. $F_1$ અને $F_2$ નો ગુણોત્તર શોધો.

નીચેના ચાર આવર્તકાળમાં:
$(i)$ પૃથ્વીની સપાટીની બરાબર ઉપર રહેલા ઉપગ્રહનો પરિભ્રમણ સમય $({T_{st}})$
$(ii)$ પૃથ્વીના વ્યાસ પર ખોદવામાં આવેલી ટનલની અંદર દળના દોલનનો આવર્તકાળ $({T_{ma}})$
$(iii)$ $9.8 \; N/kg$ ના સમાન ક્ષેત્રમાં પૃથ્વીની ત્રિજ્યા જેટલી લંબાઈ ધરાવતા સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $({T_{sp}})$
$(iv)$ પૃથ્વીના વાસ્તવિક ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં અનંત લંબાઈના સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $({T_{is}})$