एक डोरी पर यात्रा करने वाली हार्मोनिक तरंग का समीकरण $y(x, t) = 7.5 \sin (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$ है।
$(a)$ $x = 1 \; cm$ और $t = 1 \; s$ पर एक बिंदु का विस्थापन और दोलन का वेग क्या है? क्या यह वेग तरंग प्रसार के वेग के बराबर है?
$(b)$ डोरी पर उन बिंदुओं का पता लगाएँ जिनका अनुप्रस्थ विस्थापन और वेग $t = 2 \; s, 5 \; s$ और $11 \; s$ पर $x = 1 \; cm$ बिंदु के समान है।

(A) दी गई हार्मोनिक तरंग का समीकरण $y(x, t) = 7.5 \sin (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$ है।
$(a)$ $x = 1 \; cm$ और $t = 1 \; s$ के लिए:
$y(1, 1) = 7.5 \sin (0.0050 + 12 + \pi / 4) = 7.5 \sin (12.0050 + 0.785) = 7.5 \sin (12.79 \; rad)$.
डिग्री में बदलने पर: $12.79 \times (180 / \pi) \approx 732.81^{\circ}$.
$y = 7.5 \sin (732.81^{\circ}) = 7.5 \sin (8 \times 90^{\circ} + 12.81^{\circ}) = 7.5 \sin (12.81^{\circ}) \approx 7.5 \times 0.2217 \approx 1.663 \; cm$.
दोलन का वेग $v = \frac{\partial y}{\partial t} = 7.5 \times 12 \cos (0.0050 x + 12 t + \pi / 4) = 90 \cos (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$.
$x = 1 \; cm, t = 1 \; s$ पर: $v = 90 \cos (12.79 \; rad) = 90 \cos (12.81^{\circ}) \approx 90 \times 0.975 = 87.75 \; cm/s$.
तरंग प्रसार का वेग $v_p = \omega / k = 12 / 0.0050 = 2400 \; cm/s$.
चूंकि $87.75 \; cm/s \neq 2400 \; cm/s$,इसलिए दोलन का वेग तरंग प्रसार के वेग के बराबर नहीं है।
$(b)$ तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2 \pi / k = 2 \pi / 0.0050 = 1256 \; cm = 12.56 \; m$.
समान विस्थापन और वेग वाले बिंदु तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के पूर्णांक गुणज पर स्थित होते हैं। अतः,बिंदु $x = (1 \; cm \pm n \lambda)$ हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$।