$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान पतली बेलनाकार डिस्क को दो समान द्रव्यमान रहित स्प्रिंगों से जोड़ा गया है,जिनका स्प्रिंग नियतांक $k$ है और जो चित्र में दिखाए अनुसार दीवार से जुड़ी हैं। स्प्रिंग डिस्क की धुरी से उसके केंद्र से $d$ दूरी पर दोनों ओर सममित रूप से जुड़ी हैं। धुरी द्रव्यमान रहित है और स्प्रिंग तथा धुरी दोनों क्षैतिज तल में हैं। प्रत्येक स्प्रिंग की बिना खिंची लंबाई $L$ है। डिस्क शुरू में अपनी संतुलन स्थिति में है और उसका द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ दीवार से $L$ दूरी पर है। डिस्क $V_0 \hat{i}$ वेग के साथ बिना फिसले लुढ़कती है। घर्षण गुणांक $\mu$ है.
$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$
$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$
(D-D-C) $1$. मान लीजिए द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन $x$ है। प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल $kx$ है। कुल स्प्रिंग बल $F_s = -2kx$ है। संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ है। गति के समीकरण: $2kx - f = Ma$ (स्थानांतरण) और $fR = I_P \alpha = (\frac{1}{2}MR^2) \alpha$। बिना फिसले लुढ़कने के लिए $a = R\alpha$। अतः $Ma = \frac{4kx}{3}$। कुल बाहरी बल $F_{net} = -Ma = -\frac{4kx}{3}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$2$. $Ma = -\frac{4kx}{3}$ से,$a = -(\frac{4k}{3M})x$ प्राप्त होता है। $a = -\omega^2 x$ से तुलना करने पर,$\omega = \sqrt{\frac{4k}{3M}}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$3$. अधिकतम घर्षण $f_{max} = \mu Mg$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}(2k)x_{max}^2 = \frac{1}{2}I_P \omega_0^2$। गणना करने पर $V_0 = \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।
$2$. $Ma = -\frac{4kx}{3}$ से,$a = -(\frac{4k}{3M})x$ प्राप्त होता है। $a = -\omega^2 x$ से तुलना करने पर,$\omega = \sqrt{\frac{4k}{3M}}$। सही विकल्प $(D)$ है।
$3$. अधिकतम घर्षण $f_{max} = \mu Mg$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}(2k)x_{max}^2 = \frac{1}{2}I_P \omega_0^2$। गणना करने पर $V_0 = \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।
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$[A]$ छड़ का मध्य बिंदु ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर गिरेगा
$[B]$ बिंदु $A$ का प्रक्षेप पथ एक परवलय है
$[C]$ फर्श के संपर्क बिंदु के परितः तात्क्षणिक बलाघूर्ण $\sin \theta$ के समानुपाती है
$[D]$ जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो प्रारंभिक स्थिति से इसके मध्य बिंदु का विस्थापन $(1-\cos \theta)$ के समानुपाती होता है
$[A]$ छड़ का मध्य बिंदु ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर गिरेगा
$[B]$ बिंदु $A$ का प्रक्षेप पथ एक परवलय है
$[C]$ फर्श के संपर्क बिंदु के परितः तात्क्षणिक बलाघूर्ण $\sin \theta$ के समानुपाती है
$[D]$ जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो प्रारंभिक स्थिति से इसके मध्य बिंदु का विस्थापन $(1-\cos \theta)$ के समानुपाती होता है
एक घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L$ है। जब घूर्णन करती वस्तु की आवृत्ति तीन गुना कर दी जाती है और उसकी गतिज ऊर्जा एक-तिहाई कर दी जाती है,तो नया कोणीय संवेग क्या होगा?
कथन-$1$: एक पिंड $\omega$ कोणीय वेग और $I$ जड़त्व आघूर्ण के साथ एक अक्ष पर घूम रहा है। यदि कोई बाहरी टॉर्क नहीं लगाया जाता है,तो इसका कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है,लेकिन इसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ कम हो जाती है।
कथन-$2$: $L = I\omega$ और $K = \frac{L^2}{2I} = \frac{1}{2} I\omega^2$.
कथन-$2$: $L = I\omega$ और $K = \frac{L^2}{2I} = \frac{1}{2} I\omega^2$.
Difficult
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