$R$ ત્રિજ્યા અને $M$ દળ ધરાવતું એક પૈડું $R$ ઊંચાઈના એક નિશ્ચિત પગથિયાના તળિયે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવ્યું છે. પૈડાની સપાટી પર સતત એક અચળ બળ લગાડવામાં આવે છે જેથી તે લપસ્યા વિના પગથિયા પર ચઢી શકે. બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થતી અને કાગળના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau$ ધ્યાનમાં લો. નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?

$\log_e L$ અને $\log_e P$ વચ્ચેનો આલેખ કેવો હશે? (જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન અને $P$ એ રેખીય વેગમાન છે)

દળ $m$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતો એક સમાન ગોળો ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યો છે. ગોળાને જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ રીતે ફટકારવામાં આવે છે. નીચેનાને જોડો:

$(a)$ $h = \frac{R}{2}$	$(i)$ ગોળો અચળ વેગ સાથે સરક્યા વિના ગબડે છે અને ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.
$(b)$ $h = R$	$(ii)$ ગોળો ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે,ઘર્ષણ દ્વારા ઉર્જા ગુમાવે છે.
$(c)$ $h = \frac{3R}{2}$	$(iii)$ ગોળો ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે,ઘર્ષણ દ્વારા ઉર્જા ગુમાવે છે.
$(d)$ $h = \frac{7R}{5}$	$(iv)$ ગોળો માત્ર સ્થાનાંતરિત ગતિ ધરાવે છે,ઘર્ષણ દ્વારા ઉર્જા ગુમાવે છે.

એક રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ છે. તે $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ભ્રમણ કરે છે. બીજી સમાન રીંગને તેના પર હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે જેથી તેમના કેન્દ્રો એકરૂપ થાય. જો બંને રીંગો એક જ અક્ષ પર ભ્રમણ કરતી હોય,તો ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો કેટલો હશે?

એક કણ $(0\,m, 8\,m)$ બિંદુથી શરૂ થાય છે અને $3\, \hat{i} \,m/s$ ના સમાન વેગ સાથે ગતિ કરે છે. $5\,s$ પછી,ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ કણનો કોણીય વેગ કેટલો હશે?

આકૃતિ એક એવી સિસ્ટમ દર્શાવે છે જેમાં $(i)$ $3R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ આડી સપાટી પર $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે સરક્યા વિના ક્લોકવાઇઝ ગબડે છે અને $(ii)$ $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી આંતરિક ડિસ્ક $\omega/2$ કોણીય ઝડપ સાથે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ફરે છે. રીંગ અને ડિસ્ક ઘર્ષણરહિત બોલ બેરિંગ દ્વારા અલગ પડે છે. સિસ્ટમ $x-z$ સમતલમાં છે. આંતરિક ડિસ્ક પરનું બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુથી $R$ અંતરે છે,જ્યાં $OP$ આડી સપાટી સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો આડી સપાટીની સાપેક્ષમાં,
$(A)$ બિંદુ $O$ નો રેખીય વેગ $3R\omega\hat{i}$ છે.
$(B)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(C)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(D)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ છે.