एक $LC$ परिपथ में $20 \; mH$ का प्रेरक और $50 \; \mu F$ का संधारित्र है,जिसका प्रारंभिक आवेश $10 \; mC$ है। परिपथ का प्रतिरोध नगण्य है। मान लीजिए कि परिपथ बंद करने का समय $t=0$ है।
$(a)$ प्रारंभ में संचित कुल ऊर्जा कितनी है? क्या यह $LC$ दोलनों के दौरान संरक्षित रहती है?
$(b)$ परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति क्या है?
$(c)$ किस समय पर संचित ऊर्जा $(i)$ पूर्णतः विद्युत (अर्थात,संधारित्र में संचित) होती है? $(ii)$ पूर्णतः चुंबकीय (अर्थात,प्रेरक में संचित) होती है?
$(d)$ किन समयों पर कुल ऊर्जा प्रेरक और संधारित्र के बीच समान रूप से विभाजित होती है?
$(e)$ यदि परिपथ में एक प्रतिरोधक जोड़ा जाता है,तो अंततः कितनी ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाएगी?

(A) दिया गया है: $L = 20 \; mH = 20 \times 10^{-3} \; H$,$C = 50 \; \mu F = 50 \times 10^{-6} \; F$,$Q = 10 \; mC = 10 \times 10^{-3} \; C$.
$(a)$ कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{(10 \times 10^{-3})^2}{2 \times 50 \times 10^{-6}} = 1 \; J$. चूंकि प्रतिरोध $R = 0$ है,इसलिए कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$(b)$ प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = 10^3 \; rad/s$. आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} \approx 159.2 \; Hz$.
$(c)$ आवर्तकाल $T = \frac{1}{f} \approx 6.28 \; ms$.
$(i)$ विद्युत ऊर्जा $t = 0, \frac{T}{2}, T, \dots$ पर अधिकतम होती है।
$(ii)$ चुंबकीय ऊर्जा $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \dots$ पर अधिकतम होती है।
$(d)$ ऊर्जा समान रूप से विभाजित तब होती है जब $Q' = \frac{Q}{\sqrt{2}}$. अतः $t = (2n+1)\frac{T}{8}$ समय पर ऊर्जा समान रूप से विभाजित होती है।
$(e)$ यदि एक प्रतिरोधक जोड़ा जाता है,तो प्रारंभिक $1 \; J$ ऊर्जा अंततः ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाएगी।