ચોરસ તળિયાવાળી એક ખુલ્લી ટાંકીમાં $4000 \ cm^3$ પ્રવાહી સમાવવાનું છે. ટાંકીનું પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ થાય તે માટે ટાંકીના પરિમાણો શોધો.

દરેક બે વાર વિકલનીય વિધેય $f : R \rightarrow [-2, 2]$ માટે,જ્યાં $(f(0))^2 + (f'(0))^2 = 85$ છે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ એવા $r, s \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જ્યાં $r < s$,જેથી $f$ એ વિવૃત અંતરાલ $(r, s)$ પર એક-એક (one-one) છે.
$(B)$ એવો $x_0 \in (-4, 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $|f'(x_0)| \leq 1$.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$.
$(D)$ એવો $a \in (-4, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(a) + f''(a) = 0$ અને $f'(a) \neq 0$.

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા શંકુની ઊંચાઈ કેટલી થાય?

જો $f(x)=a \log |x|+b x^2+x$ ને $x=-1$ અને $x=2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો (extreme values) હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)=$

ધારો કે $\lambda$ ના તમામ ધન મૂલ્યોનો ગણ,જેના માટે વિધેય $f(x) = 1 + x(\lambda^2 - x^2)$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ $\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} < 0$ નું સમાધાન કરે છે,તે $(\alpha, \beta)$ છે. તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત શોધો.

જ્યારે $xy = 6$ હોય ત્યારે $2x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.