નીચેનાનો જવાબ આપો અને કારણ આપો: શું $x^{6}+2 x^{3}+x-1$ ને $x$ માં $5$ ઘાતવાળી બહુપદી વડે ભાગતા ભાગફળ $x^{2}-1$ હોઈ શકે?

(B) ના. બહુપદીઓ માટેના ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ,જો $p(x)$ ભાજ્ય હોય અને $g(x)$ ભાજક હોય,તો $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ થાય,જ્યાં $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$ હોય.
અહીં,$\text{deg}(p(x)) = 6$ અને $\text{deg}(g(x)) = 5$ આપેલ છે.
જો ભાગફળ $q(x) = x^{2}-1$ હોય,તો $\text{deg}(q(x)) = 2$ થાય.
ગુણાકાર $g(x) \cdot q(x)$ ની ઘાત $\text{deg}(g(x)) + \text{deg}(q(x)) = 5 + 2 = 7$ થશે.
ભાજ્ય $p(x)$ ની ઘાત $6$ છે,અને ગુણાકાર $g(x) \cdot q(x)$ ની ઘાત $7$ છે,તેથી $x^{2}-1$ ભાગફળ હોઈ શકે નહીં કારણ કે ગુણાકારની ઘાત ભાજ્યની ઘાત કરતા વધારે ન હોઈ શકે (જો શેષ શૂન્ય હોય અથવા ઓછી ઘાત ધરાવતી હોય).
તેથી,$x^{2}-1$ ભાગફળ હોઈ શકે નહીં.