$y^2 - 9xy + 18x^2 = 0$ और $y = 9$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ............ $sq. \, units$ है।

रेखाओं $x+3y=10$ और $6x^2+xy-y^2=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocentre) है

रेखाओं $x+y-1=0$ और $6x^2-13xy+5y^2=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के लंबकेंद्र की मूलबिंदु से दूरी है

यदि $P$ सभी वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय है,जैसे कि $(\alpha, 1)$ से सरल रेखाओं के युग्म $3x^2+7xy+2y^2=0$ पर डाले गए लंबों की लंबाई का गुणनफल $\frac{\sqrt{2}}{5}$ है,तो $P$ के तत्वों का योग क्या है?

पूर्णांक $k$ के लिए,यदि रेखाओं के युग्म $S = 3x^2 - 2kxy + y^2 = 0$ और रेखा $L = 2x - y - 6 = 0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है,तो रेखाओं $S = 0$ के बीच के कोण $\theta$ के लिए,$\sin \theta =$

संख्याएँ $\alpha$ और $\beta$ इस प्रकार हैं कि $2x^2 + \alpha xy + 3y^2 = 0$ की एक रेखा $2x^2 + \beta xy - 3y^2 = 0$ की एक रेखा के साथ संपाती है। यदि उस उभयनिष्ठ रेखा के अलावा अन्य दो रेखाएँ लंबवत हैं,तो $|\alpha + \beta|$ का मान ज्ञात कीजिए।