થેલી $I$ માં $3$ લાલ,$4$ કાળા અને $3$ સફેદ દડા છે. થેલી $II$ માં $2$ લાલ,$5$ કાળા અને $2$ સફેદ દડા છે. થેલી $I$ માંથી એક દડો થેલી $II$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ થેલી $II$ માંથી એક દડો કાઢવામાં આવે છે. કાઢવામાં આવેલ દડો કાળા રંગનો માલૂમ પડે છે. તો સ્થાનાંતરિત દડો લાલ હોય તેની સંભાવના શોધો.

$5000$ સ્નાતકો, $2000$ અનુસ્નાતકો અને $1000$ ડોક્ટરેટ ધારકો દ્વારા પરીક્ષા આપવામાં આવે છે. સ્નાતક, અનુસ્નાતક અને ડોક્ટરેટ ધારક પરીક્ષા પાસ કરે તેની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$ અને $\frac{4}{5}$ છે. જો કોઈ એક પરીક્ષાર્થી પરીક્ષા પાસ કરે, તો તે અનુસ્નાતક હોય તેની સંભાવના કેટલી?

એક કમ્પ્યુટર બનાવતી ફેક્ટરીમાં માત્ર બે પ્લાન્ટ $T_1$ અને $T_2$ છે. પ્લાન્ટ $T_1$ કુલ ઉત્પાદિત કમ્પ્યુટર્સના $20 \%$ અને પ્લાન્ટ $T_2$ $80 \%$ ઉત્પાદન કરે છે. ફેક્ટરીમાં ઉત્પાદિત કમ્પ્યુટર્સમાંથી $7 \%$ ખામીયુક્ત છે. તે જાણીતું છે કે $P(\text{defective} | T_1) = 10 P(\text{defective} | T_2)$. ફેક્ટરીમાં ઉત્પાદિત એક કમ્પ્યુટર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તે ખામીયુક્ત નથી. તો તે પ્લાન્ટ $T_2$ માં ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $U_1$ અને $U_2$ બે પાત્રો છે જેમાં $U_1$ માં $3$ સફેદ અને $2$ લાલ દડા છે,અને $U_2$ માં માત્ર $1$ સફેદ દડો છે. એક સિક્કો ઉછાળવામાં આવે છે. જો છાપ (head) આવે,તો $U_1$ માંથી $1$ દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરીને $U_2$ માં મૂકવામાં આવે છે. જો કાંટો (tail) આવે,તો $U_1$ માંથી $2$ દડા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરીને $U_2$ માં મૂકવામાં આવે છે. હવે $U_2$ માંથી $1$ દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
$1.$ $U_2$ માંથી પસંદ કરેલ દડો સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
$(A)$ $\frac{13}{30}$ $(B)$ $\frac{23}{30}$ $(C)$ $\frac{19}{30}$ $(D)$ $\frac{11}{30}$
$2.$ આપેલ છે કે $U_2$ માંથી પસંદ કરેલ દડો સફેદ છે,તો સિક્કા પર છાપ આવી હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?
$(A)$ $\frac{17}{23}$ $(B)$ $\frac{11}{23}$ $(C)$ $\frac{15}{23}$ $(D)$ $\frac{12}{23}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

એક માણસ $3$ માંથી $2$ વખત સાચું બોલે છે તેમ જાણીતું છે. જો તે પાસો ફેંકે અને જણાવે કે તે $6$ છે,તો તે ખરેખર $5$ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ચોક્કસ વસ્તીમાંથી, રંગઅંધ પુરુષને પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{1}{20}$ છે અને રંગઅંધ સ્ત્રીને પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{1}{10}$ છે. જો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલી વ્યક્તિ રંગઅંધ માલૂમ પડે, તો તે વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની સંભાવના કેટલી?