નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$

(N/A) ધારો કે $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ લેતા:
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ y-x & y^{2}-x^{2} & z x-y z \\ z-x & z^{2}-x^{2} & x y-y z\end{array}\right|$
$R_{2}$ માંથી $(y-x)$ અને $R_{3}$ માંથી $(z-x)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta=(y-x)(z-x)\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ -1 & -(x+y) & z \\ 1 & z+x & -y\end{array}\right|$
$R_{3} \rightarrow R_{3}+R_{2}$ લેતા:
$\Delta=(y-x)(z-x)\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ -1 & -(x+y) & z \\ 0 & z-y & z-y\end{array}\right|$
$R_{3}$ માંથી $(z-y)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta=(y-x)(z-x)(z-y)\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & y z \\ -1 & -(x+y) & z \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|$
$R_{3}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta=(y-x)(z-x)(z-y) [0 - 1(x z + y z) + 1(-x^{2}-x y + x^{2})]$
$\Delta=(y-x)(z-x)(z-y) [-(x z + y z) - x y]$
$\Delta=-(y-x)(z-x)(z-y)(x y+y z+z x)$
કારણ કે $-(y-x) = (x-y)$ અને $-(z-y) = (y-z)$,તેથી:
$\Delta=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.