નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અને વિસ્તરણ કર્યા વગર સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0$

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|$.
આપણે ત્રીજા સ્તંભને $C_3 = 9C_2 + C_1$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7)+2 \\ 3 & 8 & 9(8)+3 \\ 5 & 9 & 9(9)+5\end{array}\right|$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને બે નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7) \\ 3 & 8 & 9(8) \\ 5 & 9 & 9(9)\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,આપણે ત્રીજા સ્તંભમાંથી $9$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લઈ શકીએ છીએ:
$\Delta = 9 \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 7 \\ 3 & 8 & 8 \\ 5 & 9 & 9\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,બીજો અને ત્રીજો સ્તંભ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ અને ત્રીજો સ્તંભ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
તેથી,$\Delta = 9(0) + 0 = 0$.