सारणिकों के गुणों का उपयोग करके और विस्तार कि | vedclass

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Question

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \ 3 & 8 & 75 \ 5 & 9 & 86\end{array}ight|$.हम तीसरे स्तंभ को $C_3 = 9C_2 + C_1$ के रूप में ल

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(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|$.
हम तीसरे स्तंभ को $C_3 = 9C_2 + C_1$ के रूप में लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7)+2 \\ 3 & 8 & 9(8)+3 \\ 5 & 9 & 9(9)+5\end{array}\right|$
सारणिकों के गुण का उपयोग करके,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7) \\ 3 & 8 & 9(8) \\ 5 & 9 & 9(9)\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
पहले सारणिक में,हम तीसरे स्तंभ से $9$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में ले सकते हैं:
$\Delta = 9 \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 7 \\ 3 & 8 & 8 \\ 5 & 9 & 9\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
पहले सारणिक में,दूसरा और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,पहला और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 9(0) + 0 = 0$.

सारणिकों के गुणों का उपयोग करके और विस्तार किए बिना सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0$

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सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$

सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos (nx)}&{\cos (n + 1)x}&{\cos (n + 2)x}\\{\sin (nx)}&{\sin (n + 1)x}&{\sin (n + 2)x}\end{array}} \right|$ का मान किससे स्वतंत्र है?

यदि $\Delta = \begin{vmatrix} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{vmatrix}$ है,तो $\begin{vmatrix} x & 2y & z \\ 2p & 4q & 2r \\ a & 2b & c \end{vmatrix}$ का मान क्या होगा?

सिद्ध कीजिए कि $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a+bx & c+dx & p+qx \\ ax+b & cx+d & px+q \\ u & v & w \end{array} \right| = (1-x^2) \left| \begin{array}{ccc} a & c & p \\ b & d & q \\ u & v & w \end{array} \right|$

यदि ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$ है,तो $\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

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सारणिकों के गुणों का उपयोग करके और विस्तार किए बिना सिद्ध कीजिए कि:$\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0$