यदि ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$ है,तो $\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में $\theta$ का वह मान जो $\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & 1+\cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 1+4 \sin 4 \theta\end{array}\right|=0$ को संतुष्ट करता है, है:

सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} x & 4 & y + z \\ y & 4 & z + x \\ z & 4 & x + y \end{array} \right|$

सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos (nx)}&{\cos (n + 1)x}&{\cos (n + 2)x}\\{\sin (nx)}&{\sin (n + 1)x}&{\sin (n + 2)x}\end{array}} \right|$ का मान किससे स्वतंत्र है?

सिद्ध कीजिए कि $\Delta=\left|\begin{array}{ccc} (y+z)^{2} & x y & z x \\ x y & (x+z)^{2} & y z \\ x z & y z & (x+y)^{2} \end{array}\right|=2 x y z(x+y+z)^{3}$

मान लीजिए $A$,$3 \times 3$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है,तो $|5A| = $ ($|A|$ में)