सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$
माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ संक्रिया लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_{1}$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -(a+b+c) & 0 \\ 2 c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$
$C_{2}$ और $C_{3}$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -1 & 0 \\ 2 c & 0 & -1\end{array}\right|$
$\Delta = (a+b+c)^{3} [1((-1)(-1) - 0)] = (a+b+c)^{3}$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
$R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ संक्रिया लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_{1}$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|$
$C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -(a+b+c) & 0 \\ 2 c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$
$C_{2}$ और $C_{3}$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 b & -1 & 0 \\ 2 c & 0 & -1\end{array}\right|$
$\Delta = (a+b+c)^{3} [1((-1)(-1) - 0)] = (a+b+c)^{3}$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
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$\left| {\begin{array}{ccc} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{array}} \right| = $
Difficult
View Solution$\left|\begin{array}{ccc}1 & bc+ad & b^2c^2+a^2d^2 \\ 1 & ca+bd & c^2a^2+b^2d^2 \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|=$
मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 + x^2 - y^2 - z^2 & 2(xy + z) & 2(zx - y) \\ 2(xy - z) & 1 + y^2 - z^2 - x^2 & 2(yz + x) \\ 2(zx + y) & 2(yz - x) & 1 + z^2 - x^2 - y^2 \end{bmatrix}$ है। तो $\det(A)$ किसके बराबर है:
सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^{2}(3y+k)$
$\left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^{2}(3y+k)$
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View Solutionयदि $\Delta = \begin{vmatrix} a + x & b & c \\ b & x + c & a \\ c & a & x + b \end{vmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सारणिक का एक गुणनखंड है?
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