R त्रिज्या वाले एक पतले अर्ध-वलय (half ring) | vedclass

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Question

(A) अर्ध-वलय पर ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $	heta$ कोण पर $dl = R d	heta$ लंबाई का एक छोटा अवयव (element) लें।रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{q}{\pi R}

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$\frac{q}{{2{\pi ^2}{\varepsilon _0}{R^2}}}$

Vedclass · Answer

(A) अर्ध-वलय पर ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $	heta$ कोण पर $dl = R d	heta$ लंबाई का एक छोटा अवयव (element) लें।रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{q}{\pi R}$ है।अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = \lambda R d	heta$ है।इस अवयव के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{R^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d	heta}{R^2} = \frac{\lambda d	heta}{4\pi \varepsilon_0 R}$ है।सममिति के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,और केवल ऊर्ध्वाधर घटक $dE \cos 	heta$ जुड़ते हैं।केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dE \cos 	heta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} \cos 	heta d	heta$ है।$E = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} [\sin 	heta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} (1 - (-1)) = \frac{2\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R}$।$\lambda = \frac{q}{\pi R}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{q/\pi R}{2\pi \varepsilon_0 R} = \frac{q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}$ प्राप्त होता है।

$R$ त्रिज्या वाले एक पतले अर्ध-वलय (half ring) पर आवेश $q$ समान रूप से वितरित है। वलय के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र क्या होगा?

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