ચકાસો કે નીચેની વિધાનોની જોડી એકબીજાના નકાર (negation) છે કે નહીં. તમારા જવાબ માટે કારણો આપો.
$I$: દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અને $y$ માટે $x+y=y+x$ સત્ય છે.
$II$: એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે $x+y \neq y+x$.

દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $p V^{1/4} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો કદમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{1}{2} \%$ હોય,તો દબાણમાં થતો પ્રતિશત વધારો કેટલો હશે?

જો $u=f(r)$,જ્યાં $r^2=x^2+y^2$ હોય,તો $\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$ ની કિંમત શું થાય?

યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $0.2 \, mm$ છે. જો વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇમાં $10\%$ નો વધારો કરવામાં આવે અને સ્લિટ્સ વચ્ચેના અંતરમાં પણ $10\%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો ફ્રિન્જની પહોળાઈ .......$mm$ થશે.

બે કાર્નોટ એન્જિન $A$ અને $B$ શ્રેણીમાં કાર્યરત છે. પ્રથમ એન્જિન $A$,$T_1 = 800\, K$ તાપમાને રહેલા સ્ત્રોતમાંથી ઉષ્મા મેળવે છે અને $T_2\, K$ તાપમાને રહેલા ઠારણ વ્યવસ્થા (sink) માં ઉષ્મા મુક્ત કરે છે. બીજું એન્જિન $B$,પ્રથમ એન્જિન દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા મેળવે છે અને $T_3 = 300\, K$ તાપમાને રહેલા બીજા ઠારણ વ્યવસ્થામાં ઉષ્મા મુક્ત કરે છે. જો બંને એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સમાન હોય,તો $T_2$ નું મૂલ્ય ...... $K$ થશે.

એક સદિશ $\vec{a}$ ના ઘટકો દ્વિ-પરિમાણીય લંબચોરસ કાર્ટેઝિયન સિસ્ટમના સંદર્ભમાં $2p$ અને $1$ છે. આ સિસ્ટમને ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં અમુક ખૂણે $\theta$ ફેરવવામાં આવે છે. જો નવી સિસ્ટમના સંદર્ભમાં $\vec{a}$ ના ઘટકો $p+1$ અને $1$ હોય,તો: