(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પદાવલિ એ પ્રથમ પદ $a = (x + 3)^{n - 1}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ અને $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણ

Vedclass · Accepted Answer

$^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પદાવલિ એ પ્રથમ પદ $a = (x + 3)^{n - 1}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ અને $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{(x + 3)^{n - 1} [1 - (\frac{x + 2}{x + 3})^n]}{1 - \frac{x + 2}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^{n - 1} [\frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3)^n}]}{\frac{(x + 3) - (x + 2)}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3) - (x + 2)} = (x + 3)^n - (x + 2)^n$.
હવે,આપણે $(x + 3)^n - (x + 2)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક શોધીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} x^{n-k} a^k$.
$(x + 3)^n$ માટે,$x^r$ ધરાવતું પદ $^nC_{n-r} x^r 3^{n-r} = ^nC_r x^r 3^{n-r}$ છે.
$(x + 2)^n$ માટે,$x^r$ ધરાવતું પદ $^nC_{n-r} x^r 2^{n-r} = ^nC_r x^r 2^{n-r}$ છે.
આમ,$x^r$ નો સહગુણક $^nC_r 3^{n-r} - ^nC_r 2^{n-r} = ^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$ છે.

$(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x + 3)^{n - 3}(x + 2)^2 + ... + (x + 2)^{n - 1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ ના સહગુણકો શોધો,જ્યાં $0 \le r \le (n - 1)$ છે.

Similar Questions

${\left( {2x + \frac{1}{{3x}}} \right)^6}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ કયું છે?

$(5^{1/2} + 7^{1/6})^{642}$ ના વિસ્તરણમાં પૂર્ણાંક પદોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $(1+x)^{10}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $a_r$ એ $x^{10-r}$ નો સહગુણક હોય,તો $\sum \limits_{r=1}^{10} r^3\left(\frac{a_r}{a_{r-1}}\right)^2$ ની કિંમત શોધો.

$(1+x^2)^{12}(1+x^{12})(1+x^{24})$ ના વિસ્તરણમાં $x^{24}$ નો સહગુણક શોધો.

$\left(3-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં છઠ્ઠું પદ એ . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module