$f: R_{+} \rightarrow [-5, \infty)$ पर विचार करें जो $f(x) = 9x^{2} + 6x - 5$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है और $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ है।

(A) $f: R_{+} \rightarrow [-5, \infty)$ को $f(x) = 9x^{2} + 6x - 5$ के रूप में दिया गया है।
मान लीजिए $y$,$[-5, \infty)$ का एक स्वेच्छ अवयव है।
$y = 9x^{2} + 6x - 5$ रखें।
$y = (3x + 1)^{2} - 1 - 5 = (3x + 1)^{2} - 6$.
$y + 6 = (3x + 1)^{2}$.
चूंकि $x \in R_{+}$,$x > 0$,इसलिए $3x + 1 > 1$। अतः,$3x + 1 = \sqrt{y+6}$।
$x = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$.
$g: [-5, \infty) \rightarrow R_{+}$ को $g(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ के रूप में परिभाषित करें।
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g((3x+1)^{2}-6) = \frac{\sqrt{(3x+1)^{2}-6+6}-1}{3} = \frac{3x+1-1}{3} = x$.
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = 9\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)^{2} + 6\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right) - 5 = (\sqrt{y+6}-1)^{2} + 2(\sqrt{y+6}-1) - 5 = (y+6 - 2\sqrt{y+6} + 1) + 2\sqrt{y+6} - 2 - 5 = y + 7 - 7 = y$.
चूंकि $g \circ f = I_{R_{+}}$ और $f \circ g = I_{[-5, \infty)}$,इसलिए $f$ व्युत्क्रमणीय है और $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ है।