एक स्रोत $(S)$ और एक प्रेक्षक $(O)$ के बीच रखे गए एक पतले लेंस पर विचार करें (चित्र देखें)। मान लीजिए कि लेंस की मोटाई $w(b) = w_0 - \alpha b^2$ के रूप में बदलती है, जहाँ $b$ ध्रुव से ऊर्ध्वाधर दूरी है। $w_0$ और $\alpha$ स्थिरांक हैं। फर्मा के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, यानी स्रोत और प्रेक्षक के बीच एक किरण के लिए यात्रा का समय चरम (extremum) है, वह स्थिति ज्ञात करें कि स्रोत से निकलने वाली सभी पैराकियल किरणें अक्ष पर एक बिंदु $O$ पर अभिसरित होंगी। फोकस दूरी ज्ञात कीजिए।
$(ii)$ एक गुरुत्वाकर्षण लेंस की बदलती चौड़ाई $W = K_1 \log \left( \frac{K_2}{b} \right)$ (जहाँ $b_{\min} < b < b_{\max}$) के रूप में मानी जा सकती है। दिखाएँ कि एक प्रेक्षक एक बिंदु वस्तु की छवि को लेंस के केंद्र के चारों ओर $\beta = \sqrt{\frac{(n - 1)K_1 u}{v(u + v)}}$ की कोणीय त्रिज्या वाली एक रिंग के रूप में देखेगा।

(N/A) $(i)$ मान लीजिए $n$ लेंस सामग्री का अपवर्तनांक है। अक्ष से $b$ दूरी पर स्थित एक बिंदु के माध्यम से $S$ से $O$ तक प्रकाश द्वारा लिया गया समय $T = \frac{SP_1}{c} + \frac{(n-1)w(b)}{c} + \frac{P_1O}{c}$ है।
पैराकियल सन्निकटन का उपयोग करते हुए: $SP_1 \approx u + \frac{b^2}{2u}$ और $P_1O \approx v + \frac{b^2}{2v}$.
$T = \frac{1}{c} \left[ u + \frac{b^2}{2u} + (n-1)(w_0 - \alpha b^2) + v + \frac{b^2}{2v} \right]$.
$T$ के चरम होने के लिए, $\frac{dT}{db} = 0 \implies \frac{b}{u} + \frac{b}{v} - 2(n-1)\alpha b = 0$.
चूंकि यह सभी $b$ के लिए सत्य होना चाहिए, हमारे पास $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = 2(n-1)\alpha$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ के साथ तुलना करने पर, फोकस दूरी $f = \frac{1}{2(n-1)\alpha}$ है।
$(ii)$ गुरुत्वाकर्षण लेंस के लिए, ऑप्टिकल पथ की लंबाई $L = \sqrt{u^2+b^2} + \sqrt{v^2+b^2} + (n-1)W(b)$ है।
पैराकियल सन्निकटन का उपयोग करते हुए: $L \approx u + v + \frac{b^2}{2u} + \frac{b^2}{2v} + (n-1)K_1 \log \left( \frac{K_2}{b} \right)$.
चरम स्थिति $\frac{dL}{db} = 0 \implies \frac{b}{u} + \frac{b}{v} + (n-1)K_1 \left( -\frac{1}{b} \right) = 0$.
$b^2 \left( \frac{u+v}{uv} \right) = (n-1)K_1 \implies b = \sqrt{\frac{(n-1)K_1 uv}{u+v}}$.
कोणीय त्रिज्या $\beta \approx \frac{b}{v} = \sqrt{\frac{(n-1)K_1 u}{v(u+v)}}$ है।