અંતરાલ $[1,3]$ માં List-$I$ માં આપેલા તમામ વિધેયોને ધ્યાનમાં લો. List-$II$ માં List-$I$ ના વિધેયો પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ કરીને મેળવેલ '$c$' ના મૂલ્યો છે. વિધેયો અને '$c$' ના મૂલ્યોને જોડો.
(Table same as English)

નીચેનામાંથી કયા વિધેય માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે?

જો વિધેય $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ માટે અંતરાલ $x \in [0, 4]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) લાગુ પડતું હોય,તો પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમતો શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત અચળ ન હોય તેવું બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(x)=f(1-x)$ અને $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ થાય. તો
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ એ $[0,1]$ પર ઓછામાં ઓછી બે વાર શૂન્ય થાય છે
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$

ધારો કે $a > 0$ અને $f$ એ $[-a, a]$ માં સતત છે. ધારો કે $f'(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તમામ $x \in (-a, a)$ માટે $f'(x) \le 1$ છે. જો $f(a) = a$ અને $f(-a) = -a$ હોય,તો $f(0)$ શું થાય?

જો વિધેય $f(x) = x^3 - 6ax^2 + 5x$ એ અંતરાલ $[1, 2]$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને વક્ર $y = f(x)$ ને $x = \frac{7}{4}$ આગળનો સ્પર્શક,વક્રના $x = 1$ અને $x = 2$ આગળના બિંદુઓને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.