अंतराल [1,3] में List-I में दिए गए सभी फलनों | vedclass

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Question

(D) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कहता है कि यदि कोई फलन $f(x)$, $[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है, तो कम से कम एक $c \in (a,b)$ ऐसा मौजूद होत

Vedclass · Accepted Answer

$A-IV, B-III, C-II, D-V$

Vedclass · Answer

(D) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कहता है कि यदि कोई फलन $f(x)$, $[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है, तो कम से कम एक $c \in (a,b)$ ऐसा मौजूद होता है कि $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ हो।$A. f(x) = |x-1|$. यह फलन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है, जो अंतराल $[1,3]$ का अंतिम बिंदु है। अतः, $LMVT$ लागू नहीं होता है। हालाँकि, यदि हम छेदक रेखा की ढाल लें, तो $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{2-0}{2} = 1$। $x > 1$ के लिए, $f'(x) = 1$। कोई भी $c \in (1,3)$ इसे संतुष्ट करता है। विकल्पों को देखते हुए, $A-II$ अभीष्ट मिलान है।$B. f(x) = \log x$. $f'(c) = \frac{\log 3 - \log 1}{3-1} = \frac{\log 3}{2} = \log 3^{1/2} = \log \sqrt{3}$। चूँकि $f'(x) = 1/x$, इसलिए $1/c = \log \sqrt{3} \implies c = 1/\log \sqrt{3} = \log_3 e^2$। अतः, $B-III$।$C. f(x) = x^2+x+1$. $f'(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{(9+3+1)-(1+1+1)}{2} = \frac{13-3}{2} = 5$। चूँकि $f'(x) = 2x+1$, इसलिए $2c+1 = 5 \implies 2c = 4 \implies c = 2$। अतः, $C-II$।$D. f(x) = e^x$. $f'(c) = \frac{e^3-e^1}{3-1} = \frac{e^3-e}{2}$। चूँकि $f'(x) = e^x$, इसलिए $e^c = \frac{e^3-e}{2} \implies c = \log \left(\frac{e^3-e}{2}\right)$। अतः, $D-V$।मिलान: $A-II, B-III, C-II, D-V$।

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सभी $x \in [0, 2024]$ के लिए,मान लीजिए कि $f(x)$ अवकलनीय है,$f(0) = -2$ और $f^{\prime}(x) \geq 5$ है। तो $f(2024)$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

यदि $[1, 3]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ के लिए रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो:

अंतराल $[2,6]$ में $f(x)=\sqrt{x-2}$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय में $c$ का मान क्या है?

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