$(5, 15)$ અને $(21, 15)$ પર નાભિ ધરાવતા ઉપવલયનો વિચાર કરો. જો $X$-અક્ષ એ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય,તો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ કેટલી થાય?

ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ ને $m = -1/2$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય, તો $\Delta AOB$ નું ક્ષેત્રફળ ... છે.

ધારો કે $E_1 = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ અને $E_2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ બે ઉપવલયો છે અને $R$ એ યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો લંબચોરસ છે. ધારો કે $E_1$ એ $R$ માં અંતર્ગત ઉપવલય છે અને $E_2$ એ $R$ પર પરિગત ઉપવલય છે. જો $E_2$ એ $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય,તો:

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે એક રેખા $L$ એ રેખાઓ $bx + 10y - 8 = 0$ અને $2x - 3y = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જ્યાં $b \in R - \{\frac{4}{3}\}$. જો રેખા $L$ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પણ પસાર થાય છે અને વર્તુળ $17(x^2 + y^2) = 16$ ને સ્પર્શે છે,તો ઉપવલય $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

બિંદુ $(1, 2)$ માંથી ઉપવલય $3x^2 + 2y^2 = 5$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો: