निम्नलिखित रैखिक समीकरणों पर विचार करें:ax+by | vedclass

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Question

(D) निकाय का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ है

Vedclass · Accepted Answer

$A-r, B-q, C-p, D-s$

Vedclass · Answer

(D) निकाय का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ है।$(A)$ यदि $a+b+c 
eq 0$ और $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ है,तो $a=b=c 
eq 0$ होता है। समीकरण $a(x+y+z)=0$ बन जाते हैं,जो समान समतलों को दर्शाते हैं। अतः,$(A)-(r)$।$(B)$ यदि $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2 
eq ab+bc+ca$ है,तो $\Delta=0$ होता है। निकाय के अनंत हल होते हैं। समीकरणों को हल करने पर $x=y=z$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)-(q)$।$(C)$ यदि $a+b+c 
eq 0$ और $a^2+b^2+c^2 
eq ab+bc+ca$ है,तो $\Delta 
eq 0$ होता है। निकाय का अद्वितीय हल $(0,0,0)$ है,जो दर्शाता है कि समतल एक बिंदु पर मिलते हैं। अतः,$(C)-(p)$।$(D)$ यदि $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ है,तो $a=b=c=0$ होता है। समीकरण $0=0$ बन जाते हैं,जो संपूर्ण त्रिविमीय आकाश को दर्शाते हैं। अतः,$(D)-(s)$।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$	$(p)$ समीकरण केवल एक बिंदु पर मिलने वाले समतलों को दर्शाते हैं।
$(B)$ $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$	$(q)$ समीकरण रेखा $x=y=z$ को दर्शाते हैं।
$(C)$ $a+b+c \neq 0$ और $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$	$(r)$ समीकरण समान समतलों को दर्शाते हैं।
$(D)$ $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$	$(s)$ समीकरण संपूर्ण त्रिविमीय आकाश को दर्शाते हैं।

$List-I$	$List-II$
$(P)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ आव्यूहों की संख्या ताकि सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ हो	$(1)$ $1$
$(Q)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले सममित आव्यूहों $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ की संख्या ताकि सभी $j$ के लिए $C_j=0$ हो	$(2)$ $2$
$(R)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक विषम-सममित आव्यूह है ताकि $i>j$ के लिए $a_{ij} \in T$ हो। तो समुच्चय $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ में तत्वों की संख्या है	$(3)$ $\text{अनंत}$
$(S)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ में हैं ताकि सभी $i$ के लिए $R_i=0$ हो। तो $M$ के सारणिक का निरपेक्ष मान है	$(4)$ $6$
	$(5)$ $0$

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