નીચે આપેલ શ્રેણિક સ્વરૂપમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

સમીકરણોની સંહતિની સુસંગતતા તપાસો: $2x - y = 5$ અને $x + y = 4$.

ધારો કે $S$ એ તમામ સ્તંભ શ્રેણિકો $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ નો ગણ છે,જ્યાં $b_1, b_2, b_3 \in \mathbb{R}$ અને સમીકરણોની સંહતિ (વાસ્તવિક ચલોમાં)
$-x+2y+5z=b_1$
$2x-4y+3z=b_2$
$x-2y+2z=b_3$
ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે. તો,નીચેનામાંથી કઈ સંહતિ(ઓ) (વાસ્તવિક ચલોમાં) દરેક $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right] \in S$ માટે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ ધરાવે છે?
$(A)$ $x+2y+3z=b_1, 4y+5z=b_2$ અને $x+2y+6z=b_3$
$(B)$ $x+y+3z=b_1, 5x+2y+6z=b_2$ અને $-2x-y-3z=b_3$
$(C)$ $-x+2y-5z=b_1, 2x-4y+10z=b_2$ અને $x-2y+5z=b_3$
$(D)$ $x+2y+5z=b_1, 2x+3z=b_2$ અને $x+4y-5z=b_3$

જો $(x, y, z)=(\alpha, \beta, \gamma)$ એ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $3x - 4y + z + 7 = 0$, $2x + 3y - z = 10$, અને $x - 2y - 3z = 3$ નો અનન્ય ઉકેલ હોય, તો $\alpha = $

જો કિંમતો $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ એ ત્રણેય સમીકરણો $x+2y+3z=4$,$3x+y+z=3$ અને $x+3y+3z=2$ નું સમાધાન કરે,તો $3\alpha+\gamma=$

સમીકરણોની સંહતિ $x - 2y + 3z = 5$,$2x - 2y + z = 0$,અને $-x + 2y - 3z = 6$ માટે