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Question

(D) फलन $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ है।$x \in (0, 1)$ के लिए, $\log_{e} x < 0$ और $x - 1 < 0$, इसलिए $f(x) = -\log_{e} x - (-(x - 1)) = -\log_{e}

Vedclass · Accepted Answer

केवल $(I)$ और $(III)$ सत्य हैं।

Vedclass · Answer

(D) फलन $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ है।$x \in (0, 1)$ के लिए, $\log_{e} x अतः $f'(x) = -\frac{1}{x} + 1 = \frac{x - 1}{x}$. चूँकि $x \in (0, 1)$, $f'(x) $x \in (1, \infty)$ के लिए, $\log_{e} x > 0$ और $x - 1 > 0$, इसलिए $f(x) = \log_{e} x - (x - 1) = \log_{e} x - x + 1$.अतः $f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$. चूँकि $x > 1$, $f'(x) $x = 1$ पर, $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$. $x = 1$ पर बायां अवकलज $\lim_{h 	o 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 0$ और दायां अवकलज $\lim_{h 	o 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 0$ है। अतः $f$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय है। अतः, $(I)$ सत्य है। इसलिए केवल $(I)$ और $(III)$ सत्य हैं।

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+\|x-1\|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$

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