यदि $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} (5 + |1-t|) \, dt, & x > 2 \\ 5x + 1, & x \leq 2 \end{cases}$,तो:

मान लीजिए $f(x)$,$[-2, 2]$ में इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} \max(4 - x^2, 1 + x^2), & -2 < x < 0 \\ \min(4 - x^2, 1 + x^2), & 0 < x < 2 \end{cases}$
तब $f(x)$:

निम्नलिखित कथनों के लिए $T$ या $F$ के प्रारंभिक अक्षरों का सही क्रम दें। यदि कथन सत्य है तो $T$ और यदि असत्य है तो $F$ का उपयोग करें।
कथन-$1$: यदि $f: R \rightarrow R$ और $c \in R$ इस प्रकार हैं कि $f$,$(c - \delta, c)$ में वर्धमान है और $(c, c + \delta)$ में ह्रासमान है,तो $f$ का $c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है। जहाँ $\delta$ एक पर्याप्त छोटी धनात्मक राशि है।
कथन-$2$: मान लीजिए $f: (a, b) \rightarrow R, c \in (a, b)$ है। तो $f$ के पास $x = c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ और नति परिवर्तन बिंदु (inflection point) दोनों नहीं हो सकते हैं।
कथन-$3$: फलन $f(x) = x^2 |x|$,$x = 0$ पर दो बार अवकलनीय है।
कथन-$4$: मान लीजिए $f: [c - 1, c + 1] \rightarrow [a, b]$ एकैकी-आच्छादक (bijective) मानचित्र है,इस प्रकार कि $f$,$c$ पर अवकलनीय है और $f'(c) \neq 0$,तो $f^{-1}$ भी $f(c)$ पर अवकलनीय है।

मान लीजिए $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$ है। तो $x = -1$ पर $y'(x) - y''(x)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ और $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$ है। यदि $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ है,तो $f(\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f(x) = \sin^{10} x (\cos^8 x + \cos^4 x + \cos^2 x + 1)$,जहाँ $x \in R$ है। माना $S = \{\lambda \in R : \text{एक बिंदु } c \in (0, 2\pi) \text{ का अस्तित्व है जिसके लिए } f'(c) = \lambda f(c)\}$ है। तब,