फलन f:(0,2) rightarrow R पर विचार करें जो f(x | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ जहाँ $x \in (0, 2)$.$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2}$.चूंकि $x \in (0, 2

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$g$,$x=1$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ जहाँ $x \in (0, 2)$.$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2}$.चूंकि $x \in (0, 2)$,$x^2 $0 $x=1$ पर,$g(1) = \frac{1}{2} + \frac{2}{1} = \frac{5}{2}$ है।$1 चूंकि $\lim_{x ightarrow 1^-} g(x) = \lim_{x ightarrow 1^+} g(x) = g(1) = \frac{5}{2}$,इसलिए $g(x)$,$x=1$ पर सतत है।अब $x=1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:बायाँ अवकलज: $g'(1^-) = f'(1) = \frac{1}{2} - \frac{2}{1^2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$ है।दायाँ अवकलज: $g'(1^+) = \frac{d}{dx}(\frac{3}{2} + x) = 1$ है।चूंकि $g'(1^-) 
eq g'(1^+)$,इसलिए $g(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

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सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक परिमेय फलन अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत होता है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{1 + \cos 2\pi x}{1 - \sin \pi x}, & x < \frac{1}{2} \\ p, & x = \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2x - 1}}{\sqrt{4 + \sqrt{2x - 1}} - 2}, & x > \frac{1}{2} \end{cases}$ है। यदि $f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ पर असंतत है,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} [x] + [-x], & x \neq 2 \\ \lambda, & x = 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 2$ पर सतत है,तो $\lambda = $ (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

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