मान लीजिए f(x) = begin{cases} frac{1 + cos 2p | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = \frac{1}{2}$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^+} f(x) = f(\frac{1}{2}) = p$ होना चाहि

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$p \in R - \{4\}$

Vedclass · Answer

(A) $f(x)$ के $x = \frac{1}{2}$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^+} f(x) = f(\frac{1}{2}) = p$ होना चाहिए।सबसे पहले,बाईं सीमा $(LHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} \frac{1 + \cos 2\pi x}{1 - \sin \pi x} = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} \frac{2 \cos^2 \pi x}{1 - \sin \pi x} = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} \frac{2(1 - \sin^2 \pi x)}{1 - \sin \pi x} = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} 2(1 + \sin \pi x) = 2(1 + 1) = 4$.इसके बाद,दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करें:मान लीजिए $t = \sqrt{2x - 1}$ है। जैसे $x 	o \frac{1}{2}^+$,वैसे $t 	o 0^+$.$\lim_{t 	o 0^+} \frac{t}{\sqrt{4 + t} - 2} = \lim_{t 	o 0^+} \frac{t(\sqrt{4 + t} + 2)}{(4 + t) - 4} = \lim_{t 	o 0^+} (\sqrt{4 + t} + 2) = \sqrt{4} + 2 = 4$.चूंकि $\lim_{x 	o \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{1}{2}^+} f(x) = 4$ है,इसलिए फलन $x = \frac{1}{2}$ पर संतत होगा यदि $p = 4$ हो।अतः,$f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ पर असंतत होगा यदि $p 
eq 4$ हो,जिसका अर्थ है $p \in R - \{4\}$।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{1 + \cos 2\pi x}{1 - \sin \pi x}, & x < \frac{1}{2} \\ p, & x = \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2x - 1}}{\sqrt{4 + \sqrt{2x - 1}} - 2}, & x > \frac{1}{2} \end{cases}$ है। यदि $f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ पर असंतत है,तो:

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फलन $f$ की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए,जो इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{यदि } x \le 1 \\ x - 2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$

अंतराल $(-2 \pi, 0)$ में, फलन $f(x) = \sin \left(\frac{1}{x^3}\right)$

$f(x) = x^{3} + x^{2} - 1$ द्वारा दिए गए फलन $f$ की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि फलन $f(x) = (x + 1)^{\cot x}$,$x = 0$ पर सतत है,$f(0)$ को किस प्रकार परिभाषित किया जाना चाहिए?

यदि $f(x) = \cos \left[ \frac{\pi}{x} \right] \cos \left( \frac{\pi}{2} (x - 1) \right)$ है,तो $f(x)$ किस बिंदु पर सतत है? (जहाँ $[x]$,$x$ का महत्तम पूर्णांक फलन है)

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